Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \cos (x)}{\tan (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 - \cos (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(1 - \cos (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.5

Умножим $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.5.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем $\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Переставляем члены.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.1.5.2

Применим формулу Пифагора.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x) + 1$ и $1 + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Изменим порядок членов.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \cos^{2} (x) + 1}{\sin (x)}$

Этап 5.3.2

Изменим порядок $- \cos^{2} (x)$ и $1$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Этап 7.2.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x)$