Тригонометрия Примеры

$\sqrt{2 a - 9} - \sqrt{a - 5} = 1$

Этап 1

Добавим $\sqrt{a - 5}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 a - 9} = 1 + \sqrt{a - 5}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 a - 9}}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 a - 9}$ в виде ${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 a - 9)}^{1} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 a - 9 = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ .

$2 a - 9 = (1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a - 9 = 1 (1 + \sqrt{a - 5}) + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 a - 9 = 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{a - 5}$ на $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{a - 5}$ на $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{a - 5}$ в степень $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} \sqrt{a - 5}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{a - 5}$ в степень $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} {\sqrt{a - 5}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{a - 5}}^{2}$ в виде $a - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a - 5}$ в виде ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a - 5$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$2 a - 9 = - 4 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{a - 5}$ и $\sqrt{a - 5}$ .

$2 a - 9 = - 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{a - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$ .

$- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{a - 5}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9 + 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{a - 5} = 2 a - 9 + 4 - a$

Этап 4.2.3

Вычтем $a$ из $2 a$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 9 + 4$

Этап 4.2.4

Добавим $- 9$ и $4$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 5$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{a - 5})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a - 5}$ в виде ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(a - 5)}^{1} = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (a - 5) = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 a + 4 \cdot - 5 = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $- 5$ .

$4 a - 20 = {(a - 5)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(a - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(a - 5)}^{2}$ в виде $(a - 5) (a - 5)$ .

$4 a - 20 = (a - 5) (a - 5)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(a - 5) (a - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 a - 20 = a (a - 5) - 5 (a - 5)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 (a - 5)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Этап 6.3.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 \cdot a - 5 a - 5 \cdot - 5$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $5 a$ из $- 5 a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 10 a + 25$

Этап 7

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{2} - 10 a + 25 = 4 a - 20$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4 a$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 10 a + 25 - 4 a = - 20$

Этап 7.2.2

Вычтем $4 a$ из $- 10 a$ .

$a^{2} - 14 a + 25 = - 20$

Этап 7.3

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} - 14 a + 25 + 20 = 0$

Этап 7.4

Добавим $25$ и $20$ .

$a^{2} - 14 a + 45 = 0$

Этап 7.5

Разложим $a^{2} - 14 a + 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $- 14$ .

$- 9, - 5$

Этап 7.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(a - 9) (a - 5) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 9 = 0$

$a - 5 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $a - 9$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $a - 9$ к $0$ .

$a - 9 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$a = 9$

Этап 7.8

Приравняем $a - 5$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $a - 5$ к $0$ .

$a - 5 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$a = 5$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 9) (a - 5) = 0$ верно.

$a = 9, 5$