Тригонометрия Примеры

$\frac{a^{2} - 4 a - 12}{a^{2} - 10 a + 25} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $a^{2} - 4 a - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{a^{2} - 10 a + 25} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{a^{2} - 10 a + 5^{2}} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{{(a - 5)}^{2}} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(a - 5)}^{2}, a - 5, a - 5$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множители $a - 5$ — это $(a - 5) \cdot (a - 5)$ , то есть $a - 5$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(a - 5) = (a - 5) \cdot (a - 5)$

$(a - 5)$ встречается $2$ раз.

Этап 2.6

Множителем $a - 5$ является само значение $a - 5$ .

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК ${(a - 5)}^{2}, a - 5, a - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(a - 5)}^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(a - 6) (a + 2)}{{(a - 5)}^{2}} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$ умножим на ${(a - 5)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(a - 6) (a + 2)}{{(a - 5)}^{2}} = \frac{6}{a - 5} + \frac{a - 3}{a - 5}$ на ${(a - 5)}^{2}$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{{(a - 5)}^{2}} {(a - 5)}^{2} = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель ${(a - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{{(a - 5)}^{2}} {(a - 5)}^{2} = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(a - 6) (a + 2) = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.2

Развернем $(a - 6) (a + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (a + 2) - 6 (a + 2) = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a \cdot 2 - 6 (a + 2) = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a \cdot 2 - 6 a - 6 \cdot 2 = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a \cdot 2 - 6 a - 6 \cdot 2 = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$a^{2} + 2 \cdot a - 6 a - 6 \cdot 2 = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$a^{2} + 2 a - 6 a - 12 = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $6 a$ из $2 a$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = \frac{6}{a - 5} {(a - 5)}^{2} + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $a - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $a - 5$ из ${(a - 5)}^{2}$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = \frac{6}{a - 5} ((a - 5) (a - 5)) + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} - 4 a - 12 = \frac{6}{a - 5} ((a - 5) (a - 5)) + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 (a - 5) + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a + 6 \cdot - 5 + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $6$ на $- 5$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + \frac{a - 3}{a - 5} {(a - 5)}^{2}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $a - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Вынесем множитель $a - 5$ из ${(a - 5)}^{2}$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + \frac{a - 3}{a - 5} ((a - 5) (a - 5))$

Этап 3.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + \frac{a - 3}{a - 5} ((a - 5) (a - 5))$

Этап 3.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + (a - 3) (a - 5)$

Этап 3.3.1.5

Развернем $(a - 3) (a - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a (a - 5) - 3 (a - 5)$

Этап 3.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a \cdot a + a \cdot - 5 - 3 (a - 5)$

Этап 3.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a \cdot a + a \cdot - 5 - 3 a - 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a^{2} + a \cdot - 5 - 3 a - 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.6.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $a$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a^{2} - 5 \cdot a - 3 a - 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.6.1.3

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a^{2} - 5 a - 3 a + 15$

Этап 3.3.1.6.2

Вычтем $3 a$ из $- 5 a$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = 6 a - 30 + a^{2} - 8 a + 15$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $8 a$ из $6 a$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = - 2 a - 30 + a^{2} + 15$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 30$ и $15$ .

$a^{2} - 4 a - 12 = - 2 a + a^{2} - 15$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $2 a$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} - 4 a - 12 + 2 a = a^{2} - 15$

Этап 4.1.2

Вычтем $a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 4 a - 12 + 2 a - a^{2} = - 15$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $a^{2} - 4 a - 12 + 2 a - a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$- 4 a - 12 + 2 a + 0 = - 15$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 4 a - 12 + 2 a$ и $0$ .

$- 4 a - 12 + 2 a = - 15$

Этап 4.1.4

Добавим $- 4 a$ и $2 a$ .

$- 2 a - 12 = - 15$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- 2 a = - 15 + 12$

Этап 4.2.2

Добавим $- 15$ и $12$ .

$- 2 a = - 3$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 2 a = - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 2 a = - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$a = \frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$a = \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$a = 1.5$

Форма смешанных чисел:

$a = 1 \frac{1}{2}$