Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{7}) + \sqrt{3} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$\tan (\frac{x}{7}) = - \sqrt{3}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{7} = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (- \frac{π}{3})$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{x}{7} = 7 (- \frac{π}{3})$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 7 (- \frac{π}{3})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $7 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $7 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$x = - 7 \frac{π}{3}$

Этап 5.2.1.1.2

Объединим $- 7$ и $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 7 π}{3}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 π}{3}$

Этап 6

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3} - π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$\frac{x}{7} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{x}{7} = 7 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 7 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Умножим $7 \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Объединим $7$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{7 (2 π)}{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{14 π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\tan (\frac{x}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{7}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{7} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{7}$ приблизительно равно $0.\overline{142857}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{7}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 7$

Этап 8.5

Перенесем $7$ влево от $π$ .

$7 π$

Этап 9

Добавим $7 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $7 π$ к $- \frac{7 π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{7 π}{3} + 7 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $7 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$7 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{7 π}{3}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $7 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 π \cdot 3}{3} - \frac{7 π}{3}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 π \cdot 3 - 7 π}{3}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21 π - 7 π}{3}$

Этап 9.4.2

Вычтем $7 π$ из $21 π$ .

$\frac{14 π}{3}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{14 π}{3}$

Этап 10

Период функции $\tan (\frac{x}{7})$ равен $7 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $7 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{14 π}{3} + 7 π n, \frac{14 π}{3} + 7 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{14 π}{3} + 7 π n$ , для любого целого $n$