Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{2 x}{3}) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{2 x}{3} = \arcsin (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{2 x}{3} = π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Этап 7.3

$\frac{2}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{6}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2}$

Этап 7.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 3$

Этап 7.6

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$3 π$

Этап 8

Период функции $\sin (\frac{2 x}{3})$ равен $3 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $3 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , для любого целого $n$