Тригонометрия Примеры

$\csc (3 x) = - 1$

Этап 1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$3 x = arccsc (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccsc (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$3 x = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{2}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Найдем период $\csc (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 7

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Этап 7.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Этап 7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 7.7

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8

Период функции $\csc (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$