Тригонометрия Примеры

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1

Разделим каждый член $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ на $\csc (\frac{x}{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ на $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\csc (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выразим $\csc (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Этап 1.3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возведем $\sin (\frac{x}{2})$ в степень $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\sin (\frac{x}{2})$ в степень $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Этап 1.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Этап 1.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 7.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 7.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Этап 7.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 7.5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 7.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Этап 7.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 7.5.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 7.5.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.5.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.5.2.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$x = π \cdot 2 - π$

Этап 7.5.2.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = 2 π - π$

Этап 7.5.2.2.1.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 7.6

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.6.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 7.7

Период функции $\sin (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 8.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = - π$

Этап 8.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 8.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 8.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.5.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = 3 π$

Этап 8.6

Найдем период $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.6.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 8.6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8.7

Добавим $4 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Добавим $4 π$ к $- π$ , чтобы найти положительный угол.

$- π + 4 π$

Этап 8.7.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$3 π$

Этап 8.7.3

Перечислим новые углы.

$x = 3 π$

Этап 8.8

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$