Тригонометрия Примеры

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \csc (x)$

Этап 1

Упростим $\frac{3}{2} \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$\csc (x) - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \csc (x)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \csc (x)$

Этап 1.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 = \frac{3 \csc (x)}{2}$

Этап 2

Перенесем все члены с $\csc (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{3 \csc (x)}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\csc (x) - 1 - \frac{3 \csc (x)}{2} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\csc (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\csc (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2.3

Объединим $\csc (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\csc (x) \cdot 2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\csc (x) \cdot 2 - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2.5

Вычтем $3 \csc (x)$ из $\csc (x) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Изменим порядок $\csc (x)$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot \csc (x) - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3 \csc (x)$ из $2 \cdot \csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\csc (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{\csc (x)}{2} = 1$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) = - 2 \cdot 1$

Этап 5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{\csc (x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\csc (x)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.1.2.2

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) = - 2 \cdot 1$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\csc (x) = - 2$

Этап 6

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 2)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 8

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 9

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 9.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 10

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 11.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 11.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 11.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 11.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 11.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 12

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$