Тригонометрия Примеры

$\cos (x) = \sec (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $\cos (x) = \sec (x)$ на $\cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\cos (x) = \sec (x)$ на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$1 = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Этап 1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.5.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$1 = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 1.3.6

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 = \sec^{2} (x)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\sec^{2} (x) = 1$ .

$\sec^{2} (x) = 1$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sec (x) = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = 1, - 1$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 1$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $arcsec (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 7.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 7.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 8.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 8.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 8.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$