Тригонометрия Примеры

$\cos (2 x) + \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) = - 1$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $- 2 \sin^{2} (x)$ и $\sin^{2} (x)$ .

$- \sin^{2} (x) = - 1$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- \sin^{2} (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $- \sin^{2} (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.1.2.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 1$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 4.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = 1$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - 1$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = 1, - 1$

Этап 4.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Этап 4.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 4.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 4.6.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 4.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 4.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 4.7.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 4.7.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.7.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 4.7.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$