Тригонометрия Примеры

$\cos (2 x) + 10 \sin^{2} (x) = 7$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) = 7$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) = 7 - 1$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $- 2 \sin^{2} (x)$ и $10 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) = 7 - 1$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из $7$ .

$8 \sin^{2} (x) = 6$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $8 \sin^{2} (x) = 6$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $8 \sin^{2} (x) = 6$ на $8$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{8} = \frac{6}{8}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{8} = \frac{6}{8}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{6}{8}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{2 (3)}{8}$

Этап 5.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 5.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 5.6.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.6.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 5.7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 5.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 5.7.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 5.7.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.7.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 5.7.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.9.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$