Тригонометрия Примеры

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Этап 3

Вычтем $3 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = - 2$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Этап 4.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 4.7

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 4.8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 4.9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Этап 4.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

Этап 4.10.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Этап 4.10.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 4.10.4.2

Результирующий угол $2.85698969$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 2.85698969$

Этап 4.10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.11

Перечислим все решения.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , для любого целого $n$