Тригонометрия Примеры

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 1) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x) (\csc (x) - 1) + 1 (\csc (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot - 1 + 1 (\csc (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot - 1 + 1 \csc (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $\cot (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) - 1 \cdot \cot (x) + 1 \csc (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 \cot (x)$ в виде $- \cot (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) - \cot (x) + 1 \csc (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\cot (x) \csc (x) - \cot (x) + \csc (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cot (x) \csc (x) - \cot (x) + \csc (x) - 1 = 0$

Этап 2

Разложим $\cot (x) \csc (x) - \cot (x) + \csc (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\cot (x) \csc (x) - \cot (x) + \csc (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cot (x) (\csc (x) - 1) + 1 (\csc (x) - 1) = 0$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\csc (x) - 1$ .

$(\csc (x) - 1) (\cot (x) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\csc (x) - 1 = 0$

$\cot (x) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\csc (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\csc (x) - 1$ к $0$ .

$\csc (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\csc (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\csc (x) = 1$

Этап 4.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 4.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cot (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cot (x) + 1$ к $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cot (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cot (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\csc (x) - 1) (\cot (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{7 π}{4} + π n$ в $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$