Тригонометрия Примеры

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) + 1) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(\tan (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (\sec (x) + 1) - 1 (\sec (x) + 1) = 0$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - 1 (\sec (x) + 1) = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 \sec (x)$ в виде $- \sec (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 = 0$

Этап 2

Разложим $\tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\tan (x) (\sec (x) + 1) - (\sec (x) + 1) = 0$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\sec (x) + 1$ .

$(\sec (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sec (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (x) + 1$ к $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sec (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.4

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 4.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\tan (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x) - 1$ к $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.2.5.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sec (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ верно.

$x = π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$