Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 1.1.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Этап 2.1.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на

$\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Этап 8

Разделим каждый член уравнения на

$\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 11

Разделим

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на

$1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 12.2

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 13

Объединим

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ и

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 14.2

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.2.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.3

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Сократим выражение

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 15.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Этап 16.1.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 17

Умножим обе части уравнения на

$\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 18

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 20

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 20.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 21

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 21.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Этап 22

Разделим каждый член уравнения на

$\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 23

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 24

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 25

Разделим

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на

$1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 26

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 26.2

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 27

Объединим

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ и

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 28

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 28.2

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.2.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.3

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.4.1

Сократим выражение

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 29.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 30

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Этап 30.1.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 31

Умножим обе части уравнения на

$\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 32

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 33

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 34

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 34.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 35

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 35.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 35.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Этап 36

Разделим каждый член уравнения на

$\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 37

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 38

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 39

Разделим

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на

$1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 40

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 40.1

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 40.2

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 41

Объединим

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ и

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 42

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.1

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 42.2

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1

Упростим

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1.2.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.2.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.3

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1.4.1

Сократим выражение

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 43.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 43.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 44

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.1.1

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Этап 44.1.2

Выразим

$\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 45

Умножим обе части уравнения на

$\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 46

Объединим

$\cos (x)$ и

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 47

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 48

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 48.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 48.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 49

Сократим общий множитель

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 49.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Этап 50

Разделим каждый член уравнения на

$\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 51

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 52

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 53

Разделим

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на

$1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 54

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 54.1

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 54.2

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 55

Объединим

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ и

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 56

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 56.1

Переведем

$\frac{1}{\cos (x)}$ в

$\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 56.2

Переведем

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в

$\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 57

Умножим обе части на

$\sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x)) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.1.1

Упростим

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.1.1.1

Сократим общий множитель

$\sec (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x)) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) \sec (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.1.1.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.1.1.2.1

Изменим порядок

$\cos (x)$ и

$\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.1.1.2.2

Выразим

$\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.1.1.2.3

Сократим общие множители.

$1 = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1

Упростим

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.1

Развернем

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 58.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах

$\sec (x) (- \tan (x))$ и

$\tan (x) \sec (x)$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.1.2

Добавим

$- \sec (x) \tan (x)$ и

$\sec (x) \tan (x)$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.1.3

Добавим

$\sec (x) \sec (x)$ и

$0$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.2.2.1

Умножим

$\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.2.2.1.1

Возведем

$\sec (x)$ в степень

$1$ .

$1 = \sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2.1.2

Возведем

$\sec (x)$ в степень

$1$ .

$1 = \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2.1.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = {\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2.1.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$1 = \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = \sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Этап 58.2.1.2.2.3

Умножим

$- \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 58.2.1.2.2.3.1

Возведем

$\tan (x)$ в степень

$1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Этап 58.2.1.2.2.3.2

Возведем

$\tan (x)$ в степень

$1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Этап 58.2.1.2.2.3.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Этап 58.2.1.2.2.3.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Этап 58.2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$1 = 1$

Этап 59

Поскольку

$1 = 1$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения

$x$ .

Все вещественные числа

Этап 60

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$