Тригонометрия Примеры

${(1 + i)}^{6}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.5

Умножим $15$ на $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.7

Умножим $15$ на $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.9

Умножим $20$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.10

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.12

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.13

Умножим $- 1$ на $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.15

Умножим $15$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.16.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.16.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.17

Умножим $15$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.18

Умножим $6$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.19

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Этап 2.1.20

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Этап 2.1.20.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Этап 2.1.20.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Этап 2.1.21

Умножим $i$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Этап 2.1.22

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Этап 2.1.24

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Этап 2.1.25

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $15$ из $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 14$ и $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Этап 2.2.2.3

Добавим $0$ и $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $20 i$ из $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 14 i$ и $6 i$ .

$- 8 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Этап 6.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Этап 6.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 8$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Этап 8

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$