Тригонометрия Примеры

$\arccos (\cos (\frac{5 π}{8}))$

Этап 1

Представим $\frac{5 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\arccos (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\arccos (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$\arccos (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Этап 4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\arccos (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arccos (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\arccos (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\arccos (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\arccos (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\arccos (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Этап 4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Этап 4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Десятичная форма:

$1.96349540 \dots$