Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Этап 4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Этап 5

Добавим $1$ и $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Этап 6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Этап 6.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Этап 6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 3) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 3, - 1$

Этап 11

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $3$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 14.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 14.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 14.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$