Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

Этап 4

Вычтем $2 u$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

Этап 6

Вычтем $2$ из $1$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - 2 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 7.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 7.2.3

Перепишем многочлен.

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 7.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $- {(u + 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- {(u + 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим ${(u + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 11

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Этап 12

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 14

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 15

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 16

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 16.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 17

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$