Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$- \cos^{2} (x) + 1 = \cos^{2} (x) - 1$

Этап 3

Перенесем все члены с $\cos (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \cos^{2} (x) + 1 - \cos^{2} (x) = - 1$

Этап 3.2

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = - 1$

Этап 4

Перенесем все члены без $\cos (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) = - 2$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$\cos^{2} (x) = 1$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Этап 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = 1$

Этап 8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - 1$

Этап 8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = 1, - 1$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 10.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 10.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 10.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 11.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 11.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 11.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$