Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Этап 1

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Этап 5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Этап 6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Этап 6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 6.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Этап 7

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 8

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 9

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = - 2$

Этап 10

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 2)$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 13

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 13.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 14

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 15.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 15.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 15.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 16

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$