Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Этап 1

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $u$ и $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Этап 3.2

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Этап 4

Добавим $\frac{5 u}{2}$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Этап 5

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Этап 6

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Этап 7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8

Подставим значения $a = 2$ , $b = 5$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.3

Вычтем $16$ из $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Этап 10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 11

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 2)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 14.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 14.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 14.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 14.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 14.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 14.6.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 14.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 14.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$