Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

Этап 1

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

Этап 5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

Этап 6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

Этап 6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 6.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

Этап 7

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 8

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 9

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = 2$

Этап 10

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (2)$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $arccsc (2)$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 12

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 13

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 13.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 14

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$