Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x) = 8 \cot (x) + 10$

Этап 1

Заменим $\csc^{2} (x)$ на $\cot^{2} (x) + 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 8 \cot (x) + 10$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 1 = 8 (u) + 10$

Этап 3

Вычтем $8 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 8 u = 10$

Этап 4

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 8 u - 10 = 0$

Этап 5

Вычтем $10$ из $1$ .

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

Этап 6

Разложим $u^{2} - 8 u - 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 9$ , а сумма — $- 8$ .

$- 9, 1$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

Этап 8.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 9) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 9, - 1$

Этап 11

Подставим $\cot (x)$ вместо $u$ .

$\cot (x) = 9, - 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = 9$

$\cot (x) = - 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (9)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $arccot (9)$ .

$x = 0.11065722$

Этап 13.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.11065722$

Этап 13.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Этап 13.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.11065722$ .

$x = 3.25224987$

Этап 13.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 14.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 14.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 14.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $0.11065722 + π n$ и $3.25224987 + π n$ в $0.11065722 + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16.2

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{7 π}{4} + π n$ в $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$