Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$- \sin^{2} (x) + 1 = 3 (1 - \sin (x))$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 3 (1 - (u))$

Этап 4

Упростим $3 (1 - u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 3 (1 - u)$

Этап 4.2

Упростим путем добавления нулей.

$- u^{2} + 1 = 3 (1 - u)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- u^{2} + 1 = 3 \cdot 1 + 3 (- u)$

Этап 4.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$- u^{2} + 1 = 3 + 3 (- u)$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- u^{2} + 1 = 3 - 3 u$

Этап 5

Добавим $3 u$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + 1 + 3 u = 3$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} + 1 + 3 u - 3 = 0$

Этап 7

Вычтем $3$ из $1$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 3 u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 u$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 2 = 0$

Этап 8.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - (- 3 u)$ .

$- (u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 3 u) - 1 (2)$ .

$- (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $u^{2} - 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 8.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 2) (u - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 11

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 2) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 2, 1$

Этап 13

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = 2, 1$

Этап 14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = 2$

$\sin (x) = 1$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 16

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 16.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 16.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 16.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 16.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 16.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 16.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 16.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 16.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$