Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - \sqrt{2} \sin (x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x)$

Этап 8

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$\tan (x) \sec (x) = - \sqrt{2} \tan (x)$

Этап 9

Добавим $\sqrt{2} \tan (x)$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x) = 0$

Этап 10

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\sqrt{2} \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2} = 0$

Этап 10.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2}$ .

$\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 12

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 12.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 12.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 12.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 12.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 12.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Приравняем $\sec (x) + \sqrt{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $\sec (x) + \sqrt{2}$ к $0$ .

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 13.2

Решим $\sec (x) + \sqrt{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 13.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 13.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 13.2.4

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 13.2.5

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 13.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 13.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 13.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 13.2.5.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 13.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$