Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3} \tan (3 x) + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \tan (3 x) = - 1$

Этап 2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (3 x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (3 x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\tan (3 x)$ на $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (3 x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Этап 6

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = - \frac{π}{6} - π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{5 π}{6}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Этап 8

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 9

Добавим $\frac{π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к $- \frac{π}{18}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{18} + \frac{π}{3}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Этап 9.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 6 - π}{18}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{18}$

Этап 9.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{18}$

Этап 9.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{18}$

Этап 10

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$