Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

Этап 1

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

Этап 2

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3

Упростим ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\sqrt{3} \sin (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 4

Упростим ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(1 - \cos (x))}^{2}$ в виде $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Этап 4.2

Развернем $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

Этап 4.3.1.4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 4.3.1.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Этап 4.3.1.4.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Этап 4.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 4.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 4.3.2

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 5

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 5.2

Добавим $2 \cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 5.3

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 6

Заменим $3 \sin^{2} (x)$ на $3 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 8.2

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 9

Упорядочим многочлен.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Этап 10

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 11.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 11.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 11.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 11.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Этап 11.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.2.1.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Этап 11.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 11.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 13

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 13.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 14

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 14.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 16

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 17

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Этап 18

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 18.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 18.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 18.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 18.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 18.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 18.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 18.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 18.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 18.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 18.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 18.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 18.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 19

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 19.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 19.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 19.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 19.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 19.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 19.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 19.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 19.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 20

Перечислим все решения.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 21

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 22

Проверим каждое решение, подставив его в $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ и решив.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$