Тригонометрия Примеры

$12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) = 4$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$12 {(u)}^{2} - 6 u = 4$

Этап 2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$12 u^{2} - 6 u - 4 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $12 u^{2} - 6 u - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $12 u^{2}$ .

$2 (6 u^{2}) - 6 u - 4 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 u$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) - 4 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $6 u^{2} - 3 u - 2$ на $1$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 3$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 6}$

Этап 7.1.3

Добавим $9$ и $48$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{12}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Этап 9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$ .

$x = 1.0740816$

Этап 11.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Этап 11.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.0740816$

Этап 11.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Этап 11.4.3

Вычтем $1.0740816$ из $3.14159265$ .

$x = 2.06751104$

Этап 11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$ .

$x = - 0.38888063$

Этап 12.3

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Этап 12.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.38888063$

Этап 12.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Этап 12.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.38888063$ .

$x = 3.53047329$

Этап 12.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.38888063$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.38888063 + 2 π$

Этап 12.6.2

Вычтем $0.38888063$ из $2 π$ .

$5.89430466$

Этап 12.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.89430466$

Этап 12.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n, 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , для любого целого $n$