Тригонометрия Примеры

$11 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{11 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Заменим $\cos (x)$ на эквивалентное выражение в числителе.

$11 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$(11 \cdot 1 + 11 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $11$ на $1$ .

$(11 + 11 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$(11 - 11 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(11 - 11 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 (\frac{1}{\cos (x)}) - 11 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Объединим $11$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 11 \cos (x)$ .

$\frac{11}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 11 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 11 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим дроби.

$\frac{11}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{11}{1} \cdot \sec (x) - 11 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.3

Разделим $11$ на $1$ .

$11 \sec (x) - 11 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$11 \sec (x) - 11 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$11 \sec (x) - 11 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$11 \sec (x) - 11 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Этап 11

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$11 \sec (x) - 11 = \sin (x) \tan (x)$

Этап 12

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$11 \frac{1}{\cos (x)} - 11 = \sin (x) \tan (x)$

Этап 12.1.2

Объединим $11$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \sin (x) \tan (x)$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим $\sin (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 13.1.2

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 13.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 13.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Этап 13.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 13.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{11}{\cos (x)} - 11 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 14

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{11}{\cos (x)} - 11) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 15

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{11}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 11 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 16

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{11}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 11 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 16.2

Перепишем это выражение.

$11 + \cos (x) \cdot - 11 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 17

Перенесем $- 11$ влево от $\cos (x)$ .

$11 - 11 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 18

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель.

$11 - 11 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 18.2

Перепишем это выражение.

$11 - 11 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 19

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$11 - 11 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 20

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$11 - 11 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 21

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$11 - 11 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Этап 21.2

Упростим $11 - 11 u - (1 - u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 - 11 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Этап 21.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$11 - 11 u - 1 - - u^{2} = 0$

Этап 21.2.1.3

Умножим $- - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$11 - 11 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Этап 21.2.1.3.2

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$11 - 11 u - 1 + u^{2} = 0$

Этап 21.2.2

Вычтем $1$ из $11$ .

$- 11 u + 10 + u^{2} = 0$

Этап 21.3

Разложим $- 11 u + 10 + u^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 11$ .

$- 10, - 1$

Этап 21.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 10) (u - 1) = 0$

Этап 21.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 10 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 21.5

Приравняем $u - 10$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.5.1

Приравняем $u - 10$ к $0$ .

$u - 10 = 0$

Этап 21.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$u = 10$

Этап 21.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 21.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 21.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 10) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 10, 1$

Этап 21.8

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 10, 1$

Этап 21.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 10$

$\cos (x) = 1$

Этап 21.10

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.10.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $10$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 21.11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 21.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.11.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 21.11.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 21.11.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 21.11.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 21.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 21.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 21.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 21.11.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 21.12

Перечислим все решения.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 21.13

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$