Тригонометрия Примеры

$7 \tan (x) \sin (x) - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$7 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2

Объединим $7$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3

Умножим $\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{7 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 4 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.5

Объединим $- 4$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.2

Разделим дроби.

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.4

Разделим $7 (\sin (x))$ на $1$ .

$7 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.5

Разделим дроби.

$7 \sin (x) \tan (x) - (\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Этап 1.2.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$7 \sin (x) \tan (x) - (\frac{4}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Этап 1.2.7

Разделим $4$ на $1$ .

$7 \sin (x) \tan (x) - (4 \tan (x)) = 0$

Этап 1.2.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$7 \sin (x) \tan (x) - 4 \tan (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $7 \sin (x) \tan (x) - 4 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $7 \sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (7 \sin (x)) - 4 \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- 4 \tan (x)$ .

$\tan (x) (7 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 4 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) (7 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 4$ .

$\tan (x) (7 \sin (x) - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$7 \sin (x) - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $7 \sin (x) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $7 \sin (x) - 4$ к $0$ .

$7 \sin (x) - 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $7 \sin (x) - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 \sin (x) = 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $7 \sin (x) = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $7 \sin (x) = 4$ на $7$ .

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Этап 5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Этап 5.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Этап 5.2.6.3

Вычтем $0.60824557$ из $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (7 \sin (x) - 4) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = π n, 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , для любого целого $n$