Тригонометрия Примеры

$5 \cos (x) = 5 \sqrt{3} \sin (- x)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $5 \sqrt{3} \sin (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) = 5 \sqrt{3} (- \sin (x))$

Этап 1.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \cos (x) = - 5 \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Разделим $5$ на $1$ .

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим дроби.

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x)$

Этап 6

Разделим $- 5 \sqrt{3}$ на $1$ .

$5 = - 5 \sqrt{3} \tan (x)$

Этап 7

Перепишем уравнение в виде $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ .

$- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$

Этап 8

Разделим каждый член $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ на $- 5 \sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ на $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{3} \tan (x)}{- 5 \sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \sqrt{3} \tan (x)}{- 5 \sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.2.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $5$ и $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\tan (x) = \frac{5 (1)}{- 5 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{5 (1)}{5 (- \sqrt{3})}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{5 \cdot 1}{5 (- \sqrt{3})}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\tan (x) = \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 8.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Этап 12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 12.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + π$

Этап 14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 14.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим ответы.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$