Тригонометрия Примеры

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Заменим $\cos (x)$ на эквивалентное выражение в числителе.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Умножим $4$ на $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Умножим $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{4}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим дроби.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.3

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.4

Разделим дроби.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.6

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим на $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Этап 10.2.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Этап 11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Этап 11.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Этап 11.1.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Этап 11.1.4

Объединим $4$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Этап 12

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Этап 14

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Этап 14.2

Перепишем это выражение.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Этап 15

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Этап 15.2

Перепишем это выражение.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Этап 16

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Этап 16.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Этап 16.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 16.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 17

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 18

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 19

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Этап 19.2

Упростим $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Этап 19.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Этап 19.2.1.3.2

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Этап 19.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Этап 19.3

Разложим $4 u + 3 + u^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 19.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Этап 19.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Этап 19.5

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 19.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 19.6

Приравняем $u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.6.1

Приравняем $u + 3$ к $0$ .

$u + 3 = 0$

Этап 19.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$u = - 3$

Этап 19.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u + 1) (u + 3) = 0$ верно.

$u = - 1, - 3$

Этап 19.8

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Этап 19.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Этап 19.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 19.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 19.10.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 19.10.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 19.10.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 19.10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 19.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 19.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 19.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 19.10.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 19.10.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 19.10.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 19.10.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 19.10.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.10.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 19.10.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 19.10.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 19.10.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 19.11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.11.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 3$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 19.12

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 19.13

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$