Тригонометрия Примеры

$3 \sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $6 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $6 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (3 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $3 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \cos (x) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cos (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{3})$ .

$x = 1.23095941$

Этап 5.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 5.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Этап 5.2.6.2.2

Вычтем $1.23095941$ из $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Этап 5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (3 \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$