Тригонометрия Примеры

$\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, \tan (t)$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\tan (t)$

Этап 2

Каждый член в $\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$ умножим на $\tan (t)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$ на $\tan (t)$ .

$\tan (t) \tan (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\tan (t)$ на $\tan (t)$ .

$\tan^{2} (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\tan^{2} (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan^{2} (t) = 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (t) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan (t) = \pm 1$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (t) = 1$

Этап 3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (t) = - 1$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (t) = 1, - 1$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $t$ .

$\tan (t) = 1$

$\tan (t) = - 1$

Этап 5

Решим относительно $t$ в $\tan (t) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из тангенса.

$t = \arctan (1)$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Этап 5.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$t = π + \frac{π}{4}$

Этап 5.4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.5

Найдем период $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.6

Период функции $\tan (t)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $t$ в $\tan (t) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из тангенса.

$t = \arctan (- 1)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$t = - \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = - \frac{π}{4} - π$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$t = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$t = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.5

Найдем период $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 6.6.5

Перечислим новые углы.

$t = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.7

Период функции $\tan (t)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$t = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$