Тригонометрия Примеры

$t = \sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}} = t$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}}^{2} = t^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$ в виде ${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = t^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = t^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = t^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{8 t + 24}{16})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $8 t + 24$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 t$ .

${(\frac{8 (t) + 24}{16})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

${(\frac{8 t + 8 \cdot 3}{16})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2.3

Вынесем множитель $8$ из $8 t + 8 \cdot 3$ .

${(\frac{8 (t + 3)}{16})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.4.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

${(\frac{8 (t + 3)}{8 (2)})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{8 (t + 3)}{8 \cdot 2})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{t + 3}{2})}^{1} = t^{2}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

$\frac{t + 3}{2} = t^{2}$

Этап 4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{t + 3}{2} \cdot 2 = t^{2} \cdot 2$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t + 3}{2} \cdot 2 = t^{2} \cdot 2$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$t + 3 = t^{2} \cdot 2$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $2$ влево от $t^{2}$ .

$t + 3 = 2 t^{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $2 t^{2}$ из обеих частей уравнения.

$t + 3 - 2 t^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $t + 3 - 2 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Перенесем $3$ .

$t - 2 t^{2} + 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.1.2

Изменим порядок $t$ и $- 2 t^{2}$ .

$- 2 t^{2} + t + 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t^{2}$ .

$- (2 t^{2}) + t + 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $t$ .

$- (2 t^{2}) - 1 (- t) + 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (2 t^{2}) - 1 (- t) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t^{2}) - 1 (- t)$ .

$- (2 t^{2} - t) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t^{2} - t) - 1 (- 3)$ .

$- (2 t^{2} - t - 3) = 0$

Этап 4.3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$- (2 t^{2} - (t) - 3) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$- (2 t^{2} + (2 - 3) t - 3) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 t^{2} + 2 t - 3 t - 3) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((2 t^{2} + 2 t) - 3 t - 3) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (2 t (t + 1) - 3 (t + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $t + 1$ .

$- ((t + 1) (2 t - 3)) = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (t + 1) (2 t - 3) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t + 1 = 0$

$2 t - 3 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 4.3.5

Приравняем $2 t - 3$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $2 t - 3$ к $0$ .

$2 t - 3 = 0$

Этап 4.3.5.2

Решим $2 t - 3 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 t = 3$

Этап 4.3.5.2.2

Разделим каждый член $2 t = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 t = 3$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{3}{2}$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (t + 1) (2 t - 3) = 0$ верно.

$t = - 1, \frac{3}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $t = \sqrt{\frac{8 t + 24}{16}}$ истинным.

$t = \frac{3}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$t = 1.5$

Форма смешанных чисел:

$t = 1 \frac{1}{2}$