Тригонометрия Примеры

$4 = - 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ .

$- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$

Этап 2

Разделим каждый член $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ на $1$ .

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = \frac{4}{- 5}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = - \frac{4}{5}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$\frac{3 π}{4} t = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{3 π}{4}$ и $t$ .

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{4}{5})$ .

$\frac{3 π t}{4} = - 0.92729521$

Этап 6

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель $3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $3 π$ из $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{3 π}$ и $- 0.92729521$ .

$t = \frac{4 \cdot - 0.92729521}{3 π}$

Этап 7.2.1.1.2

Умножим $4$ на $- 0.92729521$ .

$t = \frac{- 3.70918087}{3 π}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3.70918087}{3 π}$

Этап 7.2.1.3

Заменим $π$ приближением.

$t = - \frac{3.70918087}{3 \cdot 3.14159265}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $3$ на $3.14159265$ .

$t = - \frac{3.70918087}{9.42477796}$

Этап 7.2.1.5

Разделим $3.70918087$ на $9.42477796$ .

$t = - 1 \cdot 0.39355631$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0.39355631$ .

$t = - 0.39355631$

Этап 8

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$

Этап 9

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 9.2

Результирующий угол $4.06888787$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ на полный оборот.

$\frac{3 π t}{4} = 4.06888787$

Этап 9.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3 π$ из $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Этап 9.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Умножим $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{3 π}$ и $4.06888787$ .

$t = \frac{4 \cdot 4.06888787}{3 π}$

Этап 9.3.2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $4.06888787$ .

$t = \frac{16.27555148}{3 π}$

Этап 9.3.2.2.1.2

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{16.27555148}{3 \cdot 3.14159265}$

Этап 9.3.2.2.1.3

Умножим $3$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{16.27555148}{9.42477796}$

Этап 9.3.2.2.1.4

Разделим $16.27555148$ на $9.42477796$ .

$t = 1.72688964$

Этап 10

Найдем период $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $\frac{3 π}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{3 π}{4} |}$

Этап 10.3

$\frac{3 π}{4}$ приблизительно равно $2.35619449$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3 π}{4}}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{3 π}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{3 π}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Этап 10.5.3

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Этап 10.5.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{3})$

Этап 10.6

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Этап 10.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 11

Добавим $\frac{8}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{8}{3}$ к $- 0.39355631$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.39355631 + \frac{8}{3}$

Этап 11.2

Чтобы записать $- 0.39355631$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 0.39355631 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $- 0.39355631$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Этап 11.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $- 0.39355631$ на $3$ .

$\frac{8 - 1.18066894}{3}$

Этап 11.4.2

Вычтем $1.18066894$ из $8$ .

$\frac{6.81933105}{3}$

Этап 11.5

Разделим $6.81933105$ на $3$ .

$2.27311035$

Этап 11.6

Перечислим новые углы.

$t = 2.27311035$

Этап 12

Период функции $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ равен $\frac{8}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{8}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$t = 1.72688964 + \frac{8 n}{3}, 2.27311035 + \frac{8 n}{3}$ , для любого целого $n$