Тригонометрия Примеры

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\log_{6} (5 x), 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\log_{6} (5 x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ умножим на $\log_{6} (5 x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ на $\log_{6} (5 x)$ .

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\log_{6} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\log_{6} (15 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \log_{6} (5 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} ({(5 x)}^{2})$

Этап 2.3.2

Применим правило умножения к $5 x$ .

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (5^{2} x^{2})$

Этап 2.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (25 x^{2})$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$15 x = 25 x^{2}$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $25 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$15 x - 25 x^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$15 u - 25 u^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $5 u$ из $15 u - 25 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $5 u$ из $15 u$ .

$5 u (3) - 25 u^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2.2

Вынесем множитель $5 u$ из $- 25 u^{2}$ .

$5 u (3) + 5 u (- 5 u) = 0$

Этап 3.2.2.2.3

Вынесем множитель $5 u$ из $5 u (3) + 5 u (- 5 u)$ .

$5 u (3 - 5 u) = 0$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$5 x (3 - 5 x) = 0$

Этап 3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 - 5 x = 0$

Этап 3.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.5

Приравняем $3 - 5 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $3 - 5 x$ к $0$ .

$3 - 5 x = 0$

Этап 3.2.5.2

Решим $3 - 5 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 3$

Этап 3.2.5.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 3$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 3$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Этап 3.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Этап 3.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 5}$

Этап 3.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{3}{5}$

Этап 3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x (3 - 5 x) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ истинным.

$x = \frac{3}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$x = 0.6$