Тригонометрия Примеры

$\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log_{2} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (x^{2}) = 15$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x^{2} x^{2}) = 15$

Этап 2.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (x^{2 + 2}) = 15$

Этап 2.1.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\log_{2} (x^{4}) = 15$

Этап 3

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = 2$ , $x = x^{4}$ и $y = 15$ .

$b = 2$

$x = x^{4}$

$y = 15$

Этап 3.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$2^{15} = x^{4}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} = 2^{15}$ .

$x^{4} = 2^{15}$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{15}}$

Этап 4.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{2^{15}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $2$ в степень $15$ .

$x = \pm \sqrt[4]{32768}$

Этап 4.3.2

Перепишем $32768$ в виде $8^{4} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $4096$ из $32768$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4096 (8)}$

Этап 4.3.2.2

Перепишем $4096$ в виде $8^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{8^{4} \cdot 8}$

Этап 4.3.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 8 \sqrt[4]{8}$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8 \sqrt[4]{8}$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8 \sqrt[4]{8}, - 8 \sqrt[4]{8}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$ истинным.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Десятичная форма:

$x = 13.45434264 \dots$