Тригонометрия Примеры

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 6$

Этап 1

Умножим обе части на $10^{x} - 10^{- x}$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $10^{x} - 10^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $6 (10^{x} - 10^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} + 6 (- 10^{- x})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $10^{- x}$ в виде степенного выражения.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $10^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.4

Перепишем $10^{- x}$ в виде степенного выражения.

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.5

Подставим $u$ вместо $10^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot u - 6 \cdot u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u - 6 \cdot \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.6.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u + \frac{- 6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u + \frac{1}{u} = 6 u - \frac{6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вычтем $6 \cdot 10^{x}$ из обеих частей уравнения.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} = - 6 \cdot 10^{- x}$

Этап 3.7.2

Добавим $6 \cdot 10^{- x}$ к обеим частям уравнения.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Этап 3.7.3

Вычтем $6 \cdot 10^{x}$ из $10^{x}$ .

$10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Этап 3.7.4

Добавим $10^{- x}$ и $6 \cdot 10^{- x}$ .

$7 \cdot 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Этап 3.8

Перепишем $10^{- x}$ в виде степенного выражения.

$7 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Этап 3.9

Подставим $u$ вместо $10^{x}$ .

$7 \cdot u^{- 1} - 5 \cdot u = 0$

Этап 3.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \cdot \frac{1}{u} - 5 \cdot u = 0$

Этап 3.10.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{7}{u} - 5 u = 0$

Этап 3.11

Изменим порядок $\frac{7}{u}$ и $- 5 u$ .

$- 5 u + \frac{7}{u} = 0$

Этап 3.12

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.12.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.12.2

Каждый член в $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Умножим каждый член $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ на $u$ .

$- 5 u \cdot u + \frac{7}{u} u = 0 u$

Этап 3.12.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$- 5 (u \cdot u) + \frac{7}{u} u = 0 u$

Этап 3.12.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Этап 3.12.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Этап 3.12.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 5 u^{2} + 7 = 0 u$

Этап 3.12.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$- 5 u^{2} + 7 = 0$

Этап 3.12.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 5 u^{2} = - 7$

Этап 3.12.3.2

Разделим каждый член $- 5 u^{2} = - 7$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.2.1

Разделим каждый член $- 5 u^{2} = - 7$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 3.12.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 3.12.3.2.2.1.2

Разделим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 3.12.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$u^{2} = \frac{7}{5}$

Этап 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Этап 3.12.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.12.3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.12.3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 3.12.3.4.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 3.12.3.4.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 3.12.3.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 3.12.3.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.12.3.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.12.3.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.12.3.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.12.3.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.12.3.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 3.12.3.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Этап 3.12.3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$u = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Этап 3.12.3.4.4.2

Умножим $7$ на $5$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.12.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.12.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.12.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.13

Подставим $\frac{\sqrt{35}}{5}$ вместо $u$ в $u = 10^{x}$ .

$\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Этап 3.14

Решим $\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перепишем уравнение в виде $10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.14.2

Возьмем логарифм по основанию $10$ обеих частей уравнения, чтобы избавиться от переменной в показателе степени.

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 3.14.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1

Развернем $\log (10^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 3.14.3.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 3.14.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 3.15

Подставим $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ вместо $u$ в $u = 10^{x}$ .

$- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Этап 3.16

Решим $- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Перепишем уравнение в виде $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 3.16.2

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 3.16.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.16.4

Нет решения для $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Нет решения

Этап 3.17

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Десятичная форма:

$x = 0.07306401 \dots$