Тригонометрия Примеры

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Заменим $\cos (x)$ на эквивалентное выражение в числителе.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Развернем $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1)) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot (\cos (x) + 1)) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Вычтем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ из $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.3

Добавим $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ и $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (x)}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$- \sin (x) \cdot \sec (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 11

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 13

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x) = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 14

Разделим дроби.

$- \tan (x) = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 15

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x) = \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x)$

Этап 16

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Этап 17

Перенесем все члены с $\tan (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $\tan (x)$ к обеим частям уравнения.

$- \tan (x) + \tan (x) = 0$

Этап 17.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$0 = 0$

Этап 18

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$