Тригонометрия Примеры

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{125})}^{- 8 x + 22}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{5})}^{3 (- 8 x + 22)}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $3 (- 8 x + 22)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$- 2 x^{2} - 4 = 0 + 0 + 3 (- 8 x + 22)$

Этап 3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x) + 3 \cdot 22$

Этап 3.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 8$ на $3$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 3 \cdot 22$

Этап 3.1.4.2

Умножим $3$ на $22$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 66$

Этап 3.2

Добавим $24 x$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x = 66$

Этап 3.3

Вычтем $66$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x - 66 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $66$ из $- 4$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} + 24 x - 70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $24 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 70 = 0$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 70$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (35)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Этап 3.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разложим $x^{2} - 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $- 12$ .

$- 7, - 5$

Этап 3.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Этап 3.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 7, 5$