Тригонометрия Примеры

$(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $\cot (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\cot (x) - 1$ к $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Решим $\cot (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cot (x) = 1$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1)$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.2.5

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.2.5.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ к $0$ .

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cot (x)$ на $1$ .

$\cot (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 3.2.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.5

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Этап 3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $2 π$ к $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Этап 3.2.6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{3}$ является положительным и отличается от $\frac{2 π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{5 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$