Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

Этап 3

Каждый член в $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ на $3$ .

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $3$ .

$u^{3} - 3 u = 0$

Этап 4

Вынесем множитель $u$ из $u^{3} - 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $u$ из $- 3 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$u (u^{2} - 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 7

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 7.2

Решим $u^{2} - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} = 3$

Этап 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Этап 7.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{3}$

Этап 7.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u^{2} - 3) = 0$ верно.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 9

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 11.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 11.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 11.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 12.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 12.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 12.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 12.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 13.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 13.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 13.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 13.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 13.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 13.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 13.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 13.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 13.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 13.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 13.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$