Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 4, x + 1, (x - 4) (x + 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 4, x + 1, x - 4, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 4) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}$ умножим на $(x - 4) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}$ на $(x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 4} ((x - 4) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} ((x - 4) (x + 1)) = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 4} ((x - 4) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} ((x - 4) (x + 1)) = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 + \frac{1}{x + 1} ((x - 4) (x + 1)) = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 4) (x + 1)$ .

$x + 1 + \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 4)) = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x + 1 + \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (x - 4)) = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x + 1 + x - 4 = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 4 = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 x - 3 = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 4) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 3 = \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} ((x - 4) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x - 3 = 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1 + 3$

Этап 4.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2 x = 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 4$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$x = 2$