Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\cos (x), 3$

Этап 1.2

Since $\cos (x), 3$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 3$ then find LCM for the variable part $\cos^{1} (x)$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.6

НОК $1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.7

Множителем $\cos^{1} (x)$ является само значение $\cos (x)$ .

$\cos^{1} (x) = \cos (x)$

$\cos (x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $\cos^{1} (x)$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$\cos (x)$

Этап 1.9

НОК $\cos (x), 3$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 \cos (x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ умножим на $3 \cos (x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ на $3 \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (3 \cos (x)) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos (x)$ .

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 = 8 \cos (x)$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 \cos (x) = 3$ .

$8 \cos (x) = 3$

Этап 3.2

Разделим каждый член $8 \cos (x) = 3$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $8 \cos (x) = 3$ на $8$ .

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{8}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{3}{8})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\arccos (\frac{3}{8})$ .

$x = 1.18639955$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.18639955$

Этап 7

Упростим $2 (3.14159265) - 1.18639955$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.18639955$

Этап 7.2

Вычтем $1.18639955$ из $6.2831853$ .

$x = 5.09678575$

Этап 8

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.18639955 + 2 π n, 5.09678575 + 2 π n$ , для любого целого $n$