Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{2} = \cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{4}{3} \cdot (π x) = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{4}{3} (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3} x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $x$ .

$\frac{π \cdot 4 x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3.1.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 5

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$4 π x = π$

Этап 6

Разделим каждый член $4 π x = π$ на $4 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $4 π x = π$ на $4 π$ .

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{4 π}$

Этап 6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4 π$ из $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 8.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.2.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{4 π} (2 π \cdot 3 - π)$

Этап 8.2.2.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{1}{4 π} (6 π - π)$

Этап 8.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{1}{4 π} (5 π)$

Этап 8.2.2.1.7

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.7.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (5 π)$

Этап 8.2.2.1.7.2

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Этап 8.2.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Этап 8.2.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{4} \cdot 5$

Этап 8.2.2.1.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $5$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 9

Найдем период $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $\frac{4}{3} \cdot π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} \cdot π |}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

$\frac{2 π}{| \frac{4 π}{3} |}$

Этап 9.3.2

$\frac{4 π}{3}$ приблизительно равно $4.1887902$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{4 π}{3}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{4 π}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2 π$ из $4 π$ .

$2 π \frac{3}{2 π (2)}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2 π \cdot 2}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 10

Период функции $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ равен $\frac{3}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{3}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{1}{4} + \frac{3 n}{2}, \frac{5}{4} + \frac{3 n}{2}$ , для любого целого $n$