Тригонометрия Примеры

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Этап 2

Развернем $\ln (12^{2 x + 5})$ , вынося $2 x + 5$ из логарифма.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ в виде $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ .

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

Этап 4

Развернем $\ln (7^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $(2 x + 5) \ln (12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5.1.1.2

Упростим $2 \ln (12)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5.1.1.3

Упростим $5 \ln (12)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5.1.1.4.2

Возведем $12$ в степень $5$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 \ln (7)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

Этап 5.2.1.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

Этап 5.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

Этап 5.5

Вычтем $\ln (\frac{248832}{55})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Этап 5.6

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (144) - x \ln (343)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (144)$ .

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (343)$ .

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ .

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Этап 5.7

Перепишем $- 1 \ln (343)$ в виде $- \ln (343)$ .

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Этап 5.8

Разделим каждый член $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ на $\ln (144) - \ln (343)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ на $\ln (144) - \ln (343)$ .

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $\ln (144) - \ln (343)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Этап 5.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Десятичная форма:

$x = 9.69816080 \dots$