Тригонометрия Примеры

${(10 \sqrt{3})}^{2} = {(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 (15 \sqrt{3}) (6 \sqrt{3}) \cos (c)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$ .

${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $15 \sqrt{3}$ .

$15^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$225 {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$225 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$225 \cdot 3^{1} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$225 \cdot 3 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.4

Умножим $225$ на $3$ .

$675 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.5

Применим правило умножения к $6 \sqrt{3}$ .

$675 + 6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.6

Возведем $6$ в степень $2$ .

$675 + 36 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$675 + 36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$675 + 36 \cdot 3^{1} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.7.5

Найдем экспоненту.

$675 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.8

Умножим $36$ на $3$ .

$675 + 108 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.9

Умножим $15$ на $- 2$ .

$675 + 108 - 30 \sqrt{3} \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.10

Умножим $- 30 \sqrt{3} (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $6$ на $- 30$ .

$675 + 108 - 180 \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.10.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.10.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$675 + 108 - 180 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.4.1

Сократим общий множитель.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11.4.2

Перепишем это выражение.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.11.5

Найдем экспоненту.

$675 + 108 - 180 \cdot 3 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.1.12

Умножим $- 180$ на $3$ .

$675 + 108 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2.2

Добавим $675$ и $108$ .

$783 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 3

Упростим ${(10 \sqrt{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $10 \sqrt{3}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 10^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 3.1.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{1}$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3$

Этап 3.3

Умножим $100$ на $3$ .

$783 - 540 \cos (c) = 300$

Этап 4

Перенесем все члены без $\cos (c)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $783$ из обеих частей уравнения.

$- 540 \cos (c) = 300 - 783$

Этап 4.2

Вычтем $783$ из $300$ .

$- 540 \cos (c) = - 483$

Этап 5

Разделим каждый член $- 540 \cos (c) = - 483$ на $- 540$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 540 \cos (c) = - 483$ на $- 540$ .

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 540$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos (c)$ на $1$ .

$\cos (c) = \frac{- 483}{- 540}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $- 483$ и $- 540$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 483$ .

$\cos (c) = \frac{- 3 (161)}{- 540}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 540$ .

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Этап 5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (c) = \frac{161}{180}$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $c$ из косинуса.

$c = \arccos (\frac{161}{180})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\arccos (\frac{161}{180})$ .

$c = 0.46360902$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$c = 2 (3.14159265) - 0.46360902$

Этап 9

Упростим $2 (3.14159265) - 0.46360902$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$c = 6.2831853 - 0.46360902$

Этап 9.2

Вычтем $0.46360902$ из $6.2831853$ .

$c = 5.81957627$

Этап 10

Найдем период $\cos (c)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11

Период функции $\cos (c)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$c = 0.46360902 + 2 π n, 5.81957627 + 2 π n$ , для любого целого $n$