Тригонометрия Примеры

$\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\log_{4} (81)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{4} (25)$ .

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$

Этап 2

Каждый член в $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ на $4$ .

$\log_{4} (n) \cdot 4 = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $4$ влево от $\log_{4} (n)$ .

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 (2))$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25) \cdot 2$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $\log_{4} (25)$ .

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 \log_{4} (n)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $2 \log_{4} (25)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25^{2})$

Этап 4.1.1.2

Возведем $25$ в степень $2$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (625)$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81 \cdot 625)$

Этап 4.1.3

Умножим $81$ на $625$ .

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (50625)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$n^{4} = 50625$

Этап 6

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[4]{50625}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{50625}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $50625$ в виде $15^{4}$ .

$n = \pm \sqrt[4]{15^{4}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$n = \pm 15$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$n = 15$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$n = - 15$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$n = 15, - 15$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$ истинным.

$n = 15$